有同事始终对delta复制有强烈的不信任感，认为delta复制里面，有很多要素把握不到，不知道什么地方就会出什么问题。 我不这样认为，bs理论最开始的组合构建，本身就是delta复制的流程，因此，delta复制，和bs模型所给的价格，是自洽的，我们可以指责bs模型有各种问题，比如:
股价连续平滑变化，满足对数正太分布
实际上，有一点，就是bs模型里面，对股价是否有漂移，没有任何假设，这不是指责bs模型的一个理由，因为复制组合可以对冲掉漂移。
连续对冲，交易没有摩擦成本，以任意数量交易没有冲击
假设可以任意份额交易，这个也是个摩擦问题。没有交易税费，没有买卖价差，没有清算费用等等，这需要平衡。
资金随意融入融出，股票可以任意卖空
融入融出利息固定，实际上股票卖空有一个融券利率，可以放在虚拟的股息率里面解决。
波动率为常数
这和实际显然不同，但是假设里面波动率是常数。
但这些问题，对于一个用动态复制来模拟bs模型所给出的价格的时候，并不是必然存在的。有些问题，对bs模型来说，是问题，比如交易没有摩擦，资金无限融入，但是，在我们用动态复制模拟的时候，第一个模型，也是不考虑交易摩擦，资金融入更是没有限制。 因此，用动态复制和bs模型所给出的价格，在这两个限制上面，其实是自洽的，二者最终的结果也是一致的。
连续对冲和离散对冲
bs模型的假设里面，是连续对冲的。我们用动态复制模拟的时候，用的是数值计算的方法，天生是离散的。但是这离散因素导致的结果有多严重，我们应该好好分析一下。 首先，离散对冲的结果应该是无偏的，也就是说，我认为对冲间隔取长取短，在没有交易摩擦的前提下，最终的期望是相同的。这不是天然成立，我要查下书验证一下我的观点。
离散对冲是无偏的，但是如果考虑交易成本， 其次，离散对冲的时间间隔的长短，影响的是最终的对冲误差，时间间隔越长，误差越大，这个时间间隔和对冲误差的关系，那就是有偏的了。 交易越频繁，对冲成本越高，偏差越厉害。理想的情况下，不要对冲，持有到期，只要重复次数足够多，最终的期望收益，就是期权的理论价值。 这样算下来，对冲次数越多，实际上是越不划算的。 实际上，离散对冲和连续对冲，我觉得其差异，可以用样本方差和总体方差解释（并不确定）。
价格路径不完全满足对数正太分布
在bs的理论体系下，价格是满足对数正太分布的，这个是求解pde结果的必须。我们不管用蒙特卡洛方法生成价格路径，还是用实际股价，都没法得到一个完美对数正太分布的价格。其中，蒙特卡洛的问题在于，我们的价格路径上的点，往往是有限的，这和后面不连续对冲有关，因此虽然我们在生成分布的时候，用的是对数正太分布，但是实际上最终出来的结果，并不能完美契合。 分布曲线上的差异还好说，更重要的是，由于蒙特卡洛是离散取样，导致最终的波动率和我们预设的参数是不一致的。我们给的参数是0.25，最终出来的结果可能是0.26。这种不一致导致了最终对冲出来的价格和理论值不一致。 当然，间隔越小，误差越小，这种误差也应该是可以推导得到的。这种不一致本质上，和波动率和离散采样有关~~，似乎不一定是无偏的，我印象里面说是，采样点数越少，波动率越倾向低估。~~
不过有一点需要注意，
s^2=\frac{1}{N-1}\sum^2_{i=1}(x_i-\bar x)^2s2=N−11i=1∑2(xi−x¯)2
这个式子通过样本，得到的总体方差的估计是无偏的，但是，对方差开平方后，得到的波动率，却是有偏的。由于
E(s)=E(\sqrt s^2)<\sqrt(E(s^2)=\sqrt\sigma^2=\sigmaE(s)=E(s2)<(E(s2)=σ2=σ
即，平方根的均值总是比均值的平方根小，前者是我们采样得到的波动率，后者是随机变量本身的波动率
\sigma =\frac{\bar s}{b}σ=bs¯
当取样数量超过50时，误差已经小于2%了。 根据上述结论，我们知道，当利用蒙特卡洛生成一条路径，实际路径的波动率，往往是低于我们最初给出的系数的。
这样，我们对路径采样的影响，也有了一个大致的判断。
交易成本对动态复制的影响
真正影响动态复制的，交易成本的影响就不在是无偏的了。交易频率越高，交易成本越大。如何权衡交易成本和对冲精度，应该有比较深刻的研究，但我没有看到呢。 我看到国外一些实例，一周对冲一次也是可行方案，放在国内基本很少了。我理解，国外场外期权，期限通常很长，不像国内，三个月是标准期限，因此他们可以说用一周一次的方案，对我们来说，这基本不可能。 那么交易成本的影响有多大，理想情况，平值期权来说，如果股价一直是涨的，没有回撤过，交易成本就是一个近似固定的比例，比如期初价格100，期末价格200,交易成本近似150的千分之1.5，大概这个值，是没有什么问题了。 这里有一点要注意，我的手续费是0.0015，实际上买卖价差也可以类似处理，但对于某些股价较低的股票，其买卖价差能占股价的0.2%，也就是手续费提高了2倍
考虑到期权价格0.4*\sigmasqrt(T)，对于一个三个月期权来说，也就是0.40.25*0.5，基本就是5%，交易费用占权利金的2%左右。另外一方面，如果存在频繁买卖，显然是会增加交易成本的。具体我觉得，有个很精妙的想法，是可以把价格路径看成一条曲线。有这样一个假设，这条线起点100，终点不确定，但是上面有很多波浪起伏，现在我们要知道这条线的总长度，应该如何估计，我们知道这条线的波动程度了。
数学上的推导我不太能完成了，但是我可以做点简单的数值模拟，模拟的方法就是，生成路径，然后确定曲线的总长度，我们用小竖线代替距离，来测量总长度，也是可行的。累加每日价格变化的绝对值，我们就知道总的曲线长度近似值了。 这个和对冲交易成本有没有关系，关系是很不直接的，但是很反应一个事实，曲线长度和波动率存在第一个近似关系。
本质上交易成本是这样的，只要涨了，我就有100的交易成本，和天数无关。但我上面统计的累积值，显然和我的取样有关。
不过，如果我们只考虑额外交易，默认100是逃不掉的基础交易额，那么从额外增量的角度，就可以考虑起来了，首先如果价格一直不变显然最终增量是0。那价格每天的变化量，其实是有期望的，我们预估波动率就用到了，对于20%波动率期权，每天价格变化1%，那么六十天下来，价格变化也就是60%。价格的变化并不对应绝对的交易量，比如期初价格变化1%，delta变化只有delta应该近似变化多少，是由gamma决定的，这我还真不知道有多少，回去算一下。
反正应该不会比价格变了量更大就是了，这样预估下来，交易成本最多比全仓量翻一倍，也就是交易成本最多也只占权利金的4%。有这个数以后，我们就安心多了。 计算显示，股价变化1块，delta变化3,那么交易数量是股价的3倍，但是这个又和时间有关，又和其他量有关，因此没有成型的结论，总体上看，我认为交易摩擦本身的影响是不大的，特别是在交易量可控的前提下。
至于交易量不可控的时候，就涉及到微观结构的问题，和我们的模拟本身就有不同之处了。
隐含波动率和历史已实现波动率
今天看到AQR的Cliff一篇评论，主要观点是VIX主要是和历史已实现波动率有关，并不能比历史已实现波动率告诉我们更多的关于未来的信息。
而我上周提到的，隐含波动率和未来的已实现波动率关系不大，也就是说VIX并不能很好的预测未来，本质上和上述观点类似，我认为VIX是当期交易员对未来市场的判断，但他们这种判断到底准不准谁也不好说。但是看了上面这个评论，我应该很高的描述自己的观点。VIX并不能比历史已实现波动率提供更多关于未来的信息，期权交易员的观点并不比其他市场参与者更高明。
下面我也做点实证：R-squared 0.632054
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.091504 0.005421 16.87900 0.0000
C2C_20_RV 0.812672 0.034881 23.29855 0.0000
不过，正如前面说的，ivix不是平稳序列，也很难证明自己是有意义的。