老鱼的境界

 

Gamma与对冲损益之

数据实证研究

1. 研究思路

在上一份报告中，我们从理论上分析了Gamma和对冲损益之间关系的积分表达式，这次我们利用实际数据去检验对冲损益的变化。

我们利用一个月的股指期权的仿真数据和当月股指期货的，然后固定不同水平的对冲波动率去进行gamma交易，然后检验最后的盈亏情况。

2. 研究假设

第一步的实证研究我们并不考虑交易费用的存在；

设定对冲频率每天收盘价对冲；

所有价格以收盘价计；

设定对冲数量可以精确到7位小数，即可以购买0.0001份指数；

这里分别用股指期货和股票指数来为期权做定价模型，以已实现波动作为对冲波动率条件下，以pl绝对值最小为标准，筛选最优期权对冲定价模型。

3. 数据样本

图 1 hs300指数价格真实走势

其中，该价格路径波动率年化为12.7%

4. 初始状态

在t0时间点，沪深300指数收盘价为2374.6;

行权价为2350的认购期权此时价格为74.4;

BS定价模型下的隐含波动率为20.02%。

5. 对冲过程

这里的设想是卖出期权，同时进行delta，不考虑保证金等其他费用，并且连续对冲。

卖出期权的权利金收入为74.4，对冲标的买入费用1589.59，则期初资金投入1515.19.

数据选取的是2014/8/18至2014/9/19这一段时间的沪深300指数数据。

5.1. 使用realizedVol进行对冲回溯

最后的对冲盈亏为17.71。

对冲示例如下：

基本参数是：

对冲结果

对冲过程如下：

整个过程解释如下：

我们用12.7%波动率对期权进行对冲，最后对冲盈亏为17.17。

那么实际上所卖出的期权，对我们来说，成本为74.40-17.17exp(-rT)=57.31。接近BS73下，期权在realizedVol的理论价格。

5.2. 使用impyVol进行对冲回溯

在购买期权的时候，我们并不知道期权存续期间的已实现波动率是多少，特别在hmm系统里面，我们实际上主要参考的是市场隐含波动率参数来计算delta进行对冲。

如果我们波动率参数设置为20.2%，也即对应了期权的卖出价，那么最后的对冲结果是

也就是说，我们如果以74.4卖出这个期权，并在收盘前用隐含波动率对冲，最后的盈利为21.47%(相对于期权价值)。

从上面两个结果可以看出，虽然利用较低的已实现波动率，最后的收益率更高一点，但是二者相差并没有想象中的那么大。

风控部门往往要求交易员用隐含波动率进行deltahedge，从我们上面的实验结果可以看到，即使隐含波动率和现实波动率相差较大的时候，实际上对盈亏的影响并没有那么大。

6. 对冲频率VS对冲波动率

从上述实证我们发现，相比之下，对冲频率对PnL有着更为明显的影响

这里我们提供了一组相同价格路径下，不同对冲波动率设定的对冲损益。这里对冲频率和上文保持一致，都是对冲23次。其他设定也保持一致，期权的卖出价为74.4，而期权的已实现波动率对应的理论价为55.62，二者差距为18.78。

实际上下表中的所有值都在这个值附近（如果波动率取值极大，会偏离这个值）。

表 1 不同波动率下对冲损益

而相比对冲波动率，对冲频率的不同会对对冲误差造成更为明显的影响，我们还是利用上述价格路径进行研究，但是对价格路径进行等间隔抽样，也就是原来每天对冲一次，这里设置为每隔一天对冲一次，每隔两天对冲一次，每隔3天对冲一次，每隔4天对冲一次，每隔六天对冲一次，每隔8天对冲一次，每隔12天对冲一次，以及就对冲一次。这里的对冲波动率都设定为完整路径的已实现波动率，也即12.7%（需要注意的是，抽样出来的路径的波动率，和完整路径的已实现波动率并不完全一致）。

从下面的统计中可以发现，不同对冲频率下，最后的损益非常不稳定，这是因为实际上由于对冲次数较少，但对冲次数过少时，波动率这个参数需要时间去体现，当对冲此时过少时，波动率参数本身已经失去了存在的意义，到期时的价格更多的体现出的是概率上的随机变量，失去了统计上的意义，因此最后的对冲损益也是一个随机数，并不能得到对冲频率越少，对冲损益越大，这样的结论。

能下的结论是对冲频率越高，对冲损益越趋于稳定，但是这个结论本身在我们这里无法体现，还需要进一步的实证 (这一结论对delta对冲有效，对于止损策略无效)[1]。

7. Gamma与对冲损益

上文的研究我们还只是在进行delta Hedge，也可以看到，即便用已实现波动率做对冲，仍然会有对冲误差。这个原因我们在前面的理论分析中有过论述：

(*)

7.1. realizedVol下的对冲损益

从上面公式上看，如果对冲波动率和已实现波动率一致，那么PnL应该为0，但是实际上波动率参数本身也是一个随机过程，事实上，不同的时间窗口，对应的波动率都是不同的，而这一特性我们本身很难描述。

由于我们假定交易都是以收盘价进行，因此，最合适去描述这段时间的已实现波动率指标就是close2close的已实现波动率。

而上述realizedVol下对冲的pnl为17.71，最主要的原因是期初我们期权卖出价是74.40，而不是realizedVol下的理论价55.62，这二者之差为18.78。也就是说，如果我们当初的卖出价是18.78，那么这样的对冲过程中，我们PnL为-1。这和期权卖出价相比，为2%左右，并不是一个很大的误差。

如果我们用realizedVol用作对冲波动率，那么我们的gamma损益为0，而本身17.71的总体对冲损益，就应该归结到其他损益上面。我们认为这里应该这样认识这个问题：如果我们用realizedVol对冲，那么我们实际上在期初时刻，就认定期权波动率为0.127，而我们卖出的波动率是0.20，因此这17.71绝大部分是vega收益。

数据也提供这种认识，期初vol为0.2下的vega值为261，波动率降低带来的收益为19.1，vol为0.127下的vega值为248，对应的vega收益为0.181。二者和对冲损益17.71相比，差别不是很大。

因此我们可以这样理解，如果对冲波动率和隐含波动率不同，那么我们在对收益进行分析的时候，第一步可以计算出卖出瞬间的波动率收益()，剩下来才是对冲过程中实现的Gamma收益。

7.2. implyVol下的对冲损益

事实上我们在建仓时，并不知道期权存续期间的已实现波动率是多少。虽然有很多方法可以计算历史波动率，但实际上，用这些波动率来预测未来的波动率，很难说是一个可靠的指标。

市场隐含波动率，一定程度上反应了市场参与者对未来波动率的预期，很多做市软件和系统都是基于市场隐含波动率的模型来计算delta的（并不是用实时的市场隐含波动率，而是基于市场隐含波动率，拟合波动率模型，确定theoVol，然后用这个相对稳定的theoVol计算delta）。

上面提到，close2close的已实现波动率是我们所能度量的标的资产波动率的最佳近似，因此我们认为这段时间标的资产的真实波动率就是realizedVol。

那么我们用上述的PnL公式，计算对冲的PnL：

从上面统计结果可以看出，我们用(*)式计算的PnL和我们上面实证统计的利用已实现波动率进行对冲的Pnl非常接近，但是和用implyVol计算得到的PnL差距稍大。

对于上述公式，我们理解，上述公式计算的是隐含波动率在BS模型下的期权成本，和期权的对冲成本的差距。也就是说，我们卖出一个74.4的期权，同时按照卖出的隐含波动率进行delta对冲，我们最后的Gamma收益为17.67。

也就是说，不管期初隐含波动率是多少，我们只要按照隐含波动率做对冲，最后对冲的收益总是接近于期权的真实价格，而不是对冲波动率对应的期权的价格。

换句话说，对冲出来的期权的成本更多的取决于期权的真实波动率，而不是我们对冲所用的波动率。

这个值和我们上面利用隐含波动率进行对冲的PnL值15.97并不完全一致，但是误差在5%以内，这可以解释为真实波动率并不是固定的已实现波动率（但我们无法对这一猜想进行实证）。

在上面的数据实证中，我们发现如果对冲波动率设置为隐含波动率，那么最后的对冲损益，基本上和gamma损益非常相近。下面我们用更多的波动数据取检验这个结论，都支持结论：如果用隐含波动率对冲，那么最终对冲损益是gamma实现的损益。

表 3 不同隐含波动率下的对冲损益

8. 模拟路径下的对冲过程

上述波动率路径是真实的指数价格波动路径，但是从价格变化的图形中，我们也能看出，波动率值较低，并且看不出明显的变化。

如果真实波动率没有明显变化，用已实现波动率计算的期权价格，和最后的对冲成本(已实现波动率下的)，从理论上来说，应该是非常接近的，实际上我们最后实验的结果误差在2%左右，也基本在可以接受的范围内。

上面所有的研究，不管是对冲波动率，还是真实波动率，我们都设定为一个固定值，因此Gamma损益和最后的对冲损益大小基本相同。

但是如果波动率出现明显的变化，那么情况会是怎么样，我们继续研究这个问题。

8.1. 波动率断点模型

模拟价格路径分为两段，前一半标的真实波动率为50%，后一半标的真实波动率为10%。

不同样本数量对于波动率方差的计算影响显著，在大样本下，模拟的价格路径的方差才接近。因此我们这里将路径拉长，也即对冲的次数增加，直到价格路径的已实现波动率接近我们路径生成的参数。

在路径生成完成后，我们在对路径的已实现波动率进行衡量，前一半的已实现波动率为55.10%，后一半的已实现波动率为10.4%，已经较为接近路径生成的参数。

对于路径整体的已实现波动率进行衡量，其路径整体波动率为39.6%。

图 2 价格路径和波动率路径

当期权卖出波动率为已实现的全路径隐含波动率39.6%时，此时我们对冲损益为-42.58(-10.9%)，而对应的gamma损益为-31.7，二者产生了较为明显的差距。

对于这个结果，我们可以这样理解，在期初阶段gamma绝对值较大，此时真实波动率大于对冲波动率，因此这一段是不断发生对冲损失。在期末阶段，gamma绝对值值较小，而真实波动率小于对冲波动率，虽然有对冲收益，但是难以抵减期初的对冲损失，因此期间对冲收益为负。

实际上，当我们的对冲波动率和路径波动率参数保持一致时(即用路径的已实现波动率进行deltahedge),那么我们可以最终的对冲误差在1%左右。也就是说，在对冲时，路径波动率和隐含波动率不一致的部分，会立刻产生vega损益，但是这个由于我们并不卖出期权，这种vega损益并不会立即在账面上实现。

对于另外一组路径，全路径已实现波动率为37%，前一半标的已实现波动率为51.6%，后一半标的已实现波动率为9.3%。当期权卖出波动率为已实现的全路径隐含波动率37%时，此时我们对冲损益为91.41(24.5%)，而对应的gamma损益为85，虽然路径波动率属性和上一情景类似，但是最终对冲盈亏迥异。

图 3 价格路径和波动率路径

综上，对于对冲者来说，最合理的对冲波动率就是标的的真实波动率，这样可以最小化对冲误差。真实波动率和期权卖出价对应的隐含波动率之差的vega收益实际上也可以立即在理论上实现。

固定用某一个波动率进行对冲，其最终对冲盈亏大小和期权Gamma路径（实际上也就是期权价格路径）有关。

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[1] John Hull 期权、期货以及其他衍生品（第六版中文版），p219

 

1. 从无套利角度理解(连续对冲，对冲波动率=标的波动率=常数)

股票及衍生品的运动过程分别为：

为消除不确定性，构造投资组合：

衍生品：-1；股票：＋

投资组合的价值为：

投资组合的价值变动为：

组合价值的变化量仅与时间有关，因此该组合成功消除了带来的不确定性。

根据无套利定价原理，组合收益率应等于无风险利率：

得到：

这也就是Black-Scholes 微分方程。

上述组合中，每时每刻的期权合约的价值变动与持仓期货合约价值变动刚好的差，刚好等于组合价值的无风险收益。

这也就是说，如果我们连续对冲的话，那么得到的收益，完全就是无风险收益。

由于我们连续对冲，每时每刻delta都是中性的，因此gamma不产生影响。

而又假设波动率和无风险利率不变，因此vega和rho对我们组合的价值不产生影响。

因此唯一对组合价值产生影响的就是theta，影响的程度和期初组合的价值大小有关。

2. 连续对冲,对冲波动率不等于标的已实现波动率

行权价为K到期时间为T的认购期权，在BS模型下，其t时刻的期权价值为，特别的，到期时。

假设股票价格S满足下面的这个SDE模型：

其中本身可以是随机的。

那么，把期权价格的变化划分为无穷小段，期权价格在这些时间片段中逐步变化，利用泰勒公式对BS模型下期权价格的变化进行展开（忽略）：

其中，远期方差

因此，如果我们使用BS模型下的delta来进行连续对冲，这段期间的标的对冲损益是

那么上述积分式的第一部分就被delta对冲完全消除，那么组合对冲之后的损益，也即我们对冲的误差为

从上面式子可以看出，在BS模型的假设下，波动率是确定的，因为（对于任意的St都成立），这样对冲的损益为0。

但实际上我们的对冲结果取决于gamma和对冲波动率与已实现波动率的差。从上述积分的式子中就能看到对应着波动率之差，而就是期权合约下BS模型得到的gamma。

上述的推导过程中，我们依据的是BS模型算出的delta进行对冲，对冲的波动也不做修改，由于对冲标的的实际波动是在不断变化的，因此投资组合会出现无风险收益指望的损益。

在实际对冲过程中，这一损益受gamma影响，但并不全部由gamma决定，还和波动率之差的路径积分有关。

如果给定波动率之差为一个确定的值，比如实际波动率大于对冲波动率也即，而持仓gamma是多头，那么gamma给对冲带来的就是收益；如果实际波动率小于对冲波动率，而持仓gamma是多头，那么gamma给对冲带来的就是亏损。

其实上述结论也容易理解，我们持有gamma是希望标的真实波动超过期权理论价值所设定的波动率（其实也就是期初期权价格对应的隐含波动率，而我们用这个波动率进行对冲），那么当我们判断正确时，我们是获得收益的，如果判断不正确，那么我们就会出现亏损。

但需要注意的是，上面表达式是一个在时间区间上积分的表达式，无论是标的真实波动率（已实现波动率），还是对冲波动率（交易员每天调整）是随时间变化的，而gamma本身也随时间变化，因此即使交易完成后，检查发现区间标的已实现波动率大于期初期权价格对应的隐含波动率，也不能保证gamma的多头一定会在对冲中获取盈利。

3. 不连续对冲,对冲波动率等于标的已实现波动率

事实上，由于我们根本做不到连续对冲，在非连续对冲的时候，gamma肯定会对我们的对冲效果造成影响。

因为不是连续对冲，因此每次对冲完delta后，等到下一次对冲，期间gamma是的delta不连续变化，我们总是对冲少了或者多了。如图所示：

不连续对冲，对冲误差的大小，一方面取决于当时的gamma值，一方面也取决于对冲频率。

假定为一个较小时间区间内内股票价格的变化，为相应delta对冲组合价格变化，当忽略高阶项后，

那么上式累积求和，我们可以得到

由于标的价格满足过程

将其离散化，那么

由于是一个随机变量，此时无法对其进行累加，因此这种分析很难继续进行。