Gamma与对冲损益之
数据实证研究
1. 研究思路
在上一份报告中，我们从理论上分析了Gamma和对冲损益之间关系的积分表达式，这次我们利用实际数据去检验对冲损益的变化。
我们利用一个月的股指期权的仿真数据和当月股指期货的，然后固定不同水平的对冲波动率去进行gamma交易，然后检验最后的盈亏情况。
2. 研究假设
第一步的实证研究我们并不考虑交易费用的存在；
设定对冲频率每天收盘价对冲；
所有价格以收盘价计；
设定对冲数量可以精确到7位小数，即可以购买0.0001份指数；
这里分别用股指期货和股票指数来为期权做定价模型，以已实现波动作为对冲波动率条件下，以pl绝对值最小为标准，筛选最优期权对冲定价模型。
3. 数据样本
图 1 hs300指数价格真实走势
其中，该价格路径波动率年化为12.7%
4. 初始状态
在t0时间点，沪深300指数收盘价为2374.6;
行权价为2350的认购期权此时价格为74.4;
BS定价模型下的隐含波动率为20.02%。
5. 对冲过程
这里的设想是卖出期权，同时进行delta，不考虑保证金等其他费用，并且连续对冲。
卖出期权的权利金收入为74.4，对冲标的买入费用1589.59，则期初资金投入1515.19.
数据选取的是2014/8/18至2014/9/19这一段时间的沪深300指数数据。
5.1. 使用realizedVol进行对冲回溯
最后的对冲盈亏为17.71。
对冲示例如下：
基本参数是：
对冲结果
对冲过程如下：
整个过程解释如下：
我们用12.7%波动率对期权进行对冲，最后对冲盈亏为17.17。
那么实际上所卖出的期权，对我们来说，成本为74.40-17.17exp(-rT)=57.31。接近BS73下，期权在realizedVol的理论价格。
5.2. 使用impyVol进行对冲回溯
在购买期权的时候，我们并不知道期权存续期间的已实现波动率是多少，特别在hmm系统里面，我们实际上主要参考的是市场隐含波动率参数来计算delta进行对冲。
如果我们波动率参数设置为20.2%，也即对应了期权的卖出价，那么最后的对冲结果是
也就是说，我们如果以74.4卖出这个期权，并在收盘前用隐含波动率对冲，最后的盈利为21.47%(相对于期权价值)。
从上面两个结果可以看出，虽然利用较低的已实现波动率，最后的收益率更高一点，但是二者相差并没有想象中的那么大。
风控部门往往要求交易员用隐含波动率进行deltahedge，从我们上面的实验结果可以看到，即使隐含波动率和现实波动率相差较大的时候，实际上对盈亏的影响并没有那么大。
6. 对冲频率VS对冲波动率
从上述实证我们发现，相比之下，对冲频率对PnL有着更为明显的影响
这里我们提供了一组相同价格路径下，不同对冲波动率设定的对冲损益。这里对冲频率和上文保持一致，都是对冲23次。其他设定也保持一致，期权的卖出价为74.4，而期权的已实现波动率对应的理论价为55.62，二者差距为18.78。
实际上下表中的所有值都在这个值附近（如果波动率取值极大，会偏离这个值）。
表 1 不同波动率下对冲损益
而相比对冲波动率，对冲频率的不同会对对冲误差造成更为明显的影响，我们还是利用上述价格路径进行研究，但是对价格路径进行等间隔抽样，也就是原来每天对冲一次，这里设置为每隔一天对冲一次，每隔两天对冲一次，每隔3天对冲一次，每隔4天对冲一次，每隔六天对冲一次，每隔8天对冲一次，每隔12天对冲一次，以及就对冲一次。这里的对冲波动率都设定为完整路径的已实现波动率，也即12.7%（需要注意的是，抽样出来的路径的波动率，和完整路径的已实现波动率并不完全一致）。
从下面的统计中可以发现，不同对冲频率下，最后的损益非常不稳定，这是因为实际上由于对冲次数较少，但对冲次数过少时，波动率这个参数需要时间去体现，当对冲此时过少时，波动率参数本身已经失去了存在的意义，到期时的价格更多的体现出的是概率上的随机变量，失去了统计上的意义，因此最后的对冲损益也是一个随机数，并不能得到对冲频率越少，对冲损益越大，这样的结论。
能下的结论是对冲频率越高，对冲损益越趋于稳定，但是这个结论本身在我们这里无法体现，还需要进一步的实证 (这一结论对delta对冲有效，对于止损策略无效)[1]。
|
HedgeNum |
24 |
12 |
8 |
6 |
4 |
2 |
1 |
|
final P/L |
17.71 |
61 |
55.62 |
58.64 |
45.58 |
28.44 |
25.5 |
7. Gamma与对冲损益
上文的研究我们还只是在进行delta Hedge，也可以看到，即便用已实现波动率做对冲，仍然会有对冲误差。这个原因我们在前面的理论分析中有过论述：
(*)
7.1. realizedVol下的对冲损益
从上面公式上看，如果对冲波动率和已实现波动率一致，那么PnL应该为0，但是实际上波动率参数本身也是一个随机过程，事实上，不同的时间窗口，对应的波动率都是不同的，而这一特性我们本身很难描述。
由于我们假定交易都是以收盘价进行，因此，最合适去描述这段时间的已实现波动率指标就是close2close的已实现波动率。
而上述realizedVol下对冲的pnl为17.71，最主要的原因是期初我们期权卖出价是74.40，而不是realizedVol下的理论价55.62，这二者之差为18.78。也就是说，如果我们当初的卖出价是18.78，那么这样的对冲过程中，我们PnL为-1。这和期权卖出价相比，为2%左右，并不是一个很大的误差。
如果我们用realizedVol用作对冲波动率，那么我们的gamma损益为0，而本身17.71的总体对冲损益，就应该归结到其他损益上面。我们认为这里应该这样认识这个问题：如果我们用realizedVol对冲，那么我们实际上在期初时刻，就认定期权波动率为0.127，而我们卖出的波动率是0.20，因此这17.71绝大部分是vega收益。
数据也提供这种认识，期初vol为0.2下的vega值为261，波动率降低带来的收益为19.1，vol为0.127下的vega值为248，对应的vega收益为0.181。二者和对冲损益17.71相比，差别不是很大。
因此我们可以这样理解，如果对冲波动率和隐含波动率不同，那么我们在对收益进行分析的时候，第一步可以计算出卖出瞬间的波动率收益(
)，剩下来才是对冲过程中实现的Gamma收益。
7.2. implyVol下的对冲损益
事实上我们在建仓时，并不知道期权存续期间的已实现波动率是多少。虽然有很多方法可以计算历史波动率，但实际上，用这些波动率来预测未来的波动率，很难说是一个可靠的指标。
市场隐含波动率，一定程度上反应了市场参与者对未来波动率的预期，很多做市软件和系统都是基于市场隐含波动率的模型来计算delta的（并不是用实时的市场隐含波动率，而是基于市场隐含波动率，拟合波动率模型，确定theoVol，然后用这个相对稳定的theoVol计算delta）。
上面提到，close2close的已实现波动率是我们所能度量的标的资产波动率的最佳近似，因此我们认为这段时间标的资产的真实波动率就是realizedVol。
那么我们用上述的PnL公式，计算对冲的PnL：
从上面统计结果可以看出，我们用(*)式计算的PnL和我们上面实证统计的利用已实现波动率进行对冲的Pnl非常接近，但是和用implyVol计算得到的PnL差距稍大。
对于上述公式，我们理解，上述公式计算的是隐含波动率在BS模型下的期权成本，和期权的对冲成本的差距。也就是说，我们卖出一个74.4的期权，同时按照卖出的隐含波动率进行delta对冲，我们最后的Gamma收益为17.67。
也就是说，不管期初隐含波动率是多少，我们只要按照隐含波动率做对冲，最后对冲的收益总是接近于期权的真实价格，而不是对冲波动率对应的期权的价格。
换句话说，对冲出来的期权的成本更多的取决于期权的真实波动率，而不是我们对冲所用的波动率。
这个值和我们上面利用隐含波动率进行对冲的PnL值15.97并不完全一致，但是误差在5%以内，这可以解释为真实波动率并不是固定的已实现波动率（但我们无法对这一猜想进行实证）。
在上面的数据实证中，我们发现如果对冲波动率设置为隐含波动率，那么最后的对冲损益，基本上和gamma损益非常相近。下面我们用更多的波动数据取检验这个结论，都支持结论：如果用隐含波动率对冲，那么最终对冲损益是gamma实现的损益。
表 3 不同隐含波动率下的对冲损益
8. 模拟路径下的对冲过程
上述波动率路径是真实的指数价格波动路径，但是从价格变化的图形中，我们也能看出，波动率值较低，并且看不出明显的变化。
如果真实波动率没有明显变化，用已实现波动率计算的期权价格，和最后的对冲成本(已实现波动率下的)，从理论上来说，应该是非常接近的，实际上我们最后实验的结果误差在2%左右，也基本在可以接受的范围内。
上面所有的研究，不管是对冲波动率，还是真实波动率，我们都设定为一个固定值，因此Gamma损益和最后的对冲损益大小基本相同。
但是如果波动率出现明显的变化，那么情况会是怎么样，我们继续研究这个问题。
8.1. 波动率断点模型
模拟价格路径分为两段，前一半标的真实波动率为50%，后一半标的真实波动率为10%。
不同样本数量对于波动率方差的计算影响显著，在大样本下，模拟的价格路径的方差才接近。因此我们这里将路径拉长，也即对冲的次数增加，直到价格路径的已实现波动率接近我们路径生成的参数。
在路径生成完成后，我们在对路径的已实现波动率进行衡量，前一半的已实现波动率为55.10%，后一半的已实现波动率为10.4%，已经较为接近路径生成的参数。
对于路径整体的已实现波动率进行衡量，其路径整体波动率为39.6%。
图 2 价格路径和波动率路径
当期权卖出波动率为已实现的全路径隐含波动率39.6%时，此时我们对冲损益为-42.58(-10.9%)，而对应的gamma损益为-31.7，二者产生了较为明显的差距。
对于这个结果，我们可以这样理解，在期初阶段gamma绝对值较大，此时真实波动率大于对冲波动率，因此这一段是不断发生对冲损失。在期末阶段，gamma绝对值值较小，而真实波动率小于对冲波动率，虽然有对冲收益，但是难以抵减期初的对冲损失，因此期间对冲收益为负。
实际上，当我们的对冲波动率和路径波动率参数保持一致时(即用路径的已实现波动率进行deltahedge),那么我们可以最终的对冲误差在1%左右。也就是说，在对冲时，路径波动率和隐含波动率不一致的部分，会立刻产生vega损益，但是这个由于我们并不卖出期权，这种vega损益并不会立即在账面上实现。
对于另外一组路径，全路径已实现波动率为37%，前一半标的已实现波动率为51.6%，后一半标的已实现波动率为9.3%。当期权卖出波动率为已实现的全路径隐含波动率37%时，此时我们对冲损益为91.41(24.5%)，而对应的gamma损益为85，虽然路径波动率属性和上一情景类似，但是最终对冲盈亏迥异。
图 3 价格路径和波动率路径
综上，对于对冲者来说，最合理的对冲波动率就是标的的真实波动率，这样可以最小化对冲误差。真实波动率和期权卖出价对应的隐含波动率之差的vega收益实际上也可以立即在理论上实现。
固定用某一个波动率进行对冲，其最终对冲盈亏大小和期权Gamma路径（实际上也就是期权价格路径）有关。
[1] John Hull 期权、期货以及其他衍生品（第六版中文版），p219