金融仿真笔记（8）-利率模型

利率模型，这东西貌似挺麻烦，利率模型可以分为均衡模型和无套利模型，顺便说一句，套利就是无风险收益，一定是无风险，才能说套利。
先说均衡模型，它是以利率期限结构为输出，单因素模型: dr = m(r)dt + s(r)dw，r就是短期利率，m(r)就是说给定的r下，利率随时间的变动量，也可以叫漂移率，当然参数r说，s(r)其实随机波动率，方差率之类的量。这里面m,s不同的取值方法，又有三种模型，
m(r) = mu r, s(r) = sigma r Rendleman and Batter model
m(r) = a(b-r), s(r) = sigma , Vasicek model
m(r) = a(b-r), s(r) =  sigmasqrt{r},  CIR model

无套利的模型，利率期限结构为输出，HL, HW, BK, BDT, HJMHW, BK, BDT, HJM。

Ho-Lee (HL)模型：d(r)=θ(t)dt+δdW.(1)
if r represents spot annual rate, then equation (1) represents the zero rate (yield) from time t to time (t+1) at any future time t .W(t)~ N(0,t).

θ(t)(drift term) to match the input interest rate term structure,so as to ensure no arbitrage 。

举个例子吧：给定

让你确定一年期的及其利率是多少，这个简单，就是5.78%，两年期的即期利率呢，这个就要通过一番计算了。

什么是利率期限结构

　　严格地说，利率期限结构是指某个时点不同期限的即期利率与到期期限的关系及变化规律。由于零息债券的到期收益率等于相同期限的市场即期利率（即期利率是指债券票面所标明的利率或购买债券时所获得的折价收益与债券面值的比率。它是某一给定时点上无息证券的到期收益率），从对应关系上来说，任何时刻的利率期限结构是利率水平和期限相联系的函数。

怎么算这个东西，就要用到我们上面提到的利率模型了，我这里用最简单的HL模型举例，用的是二叉树定价法，由于利率变化量公式为Δr=θ(t)Δt+δΔW，这里面，θ(t)Δt就是随时间漂移量，δΔW是随机变动量，这个随机我们确定了，大小ΔW~N(0,Δt)，二叉树定价的二叉树在这里体现，本来ΔW是随机变量，取值自然也不定，是正态分布的。不过这里面我们认为其只有两个取值，概率相等，都是0.5。因为Δt=1，可以ΔW=εΔt,ε满足标准正太分布，则这里面就粗暴的将ε取值为1和-1，就开始了下面的计算。
一年之间，如果利率可以有这两种变化，（注意这里的一年后应该是这样理解，我们的起始点是现在是0,对应现在的起始点的一年期即期利率是已知的，是5.78%，那么两年期的即期利率，虽然是两年期，ru和rd是我们现在预测一年后零息债券可能的票面利率（这个利率对应的应该是在1时点买入债券，在2时刻到期所要求 的利率），但是利率还是零利率，它的变化是是根据现在的一年期的即期利率而来，因为我们研究的是利率期限结构，是即期利率和到期期限的关系，到期期限是自变量），那么对于面值100元零息债券来说，现价就应该根据这个利率折现而来。给个草图，这样可以列出下式计算，可以计算得到u(1)，就是一年的漂移率了。计算u(2)，就是两年的漂移率需要利用二叉树重构：rud=rdu，因为下面就会有4个节点，重构能让计算简单。但是对这个重构，却又有点问题，这里用的是直接相等，但是价格起点并不相同，收益率如果直接相等，并不能得到一个相同的终点，但是我们目前所绘制的，显然目的是重点相同，所以按理来说，不应该是直接相等，应该使用Pu*(rud+1)=Pd*(1+rdu)。当然我也没怎么搞清楚这里面的理念，因为按我这样，那最后所有价格都是100怎么解释呢。这里用公式直接rud=ru+u(2)-δ=ru-2δ+u(2)+δ=rdu，也没有问题吧。

计算公式是ruu=ru+u(2)-δ,u(2)+δ应该就是Δr了，u(2)表示第二年的漂移率，而不是两年的漂移率，这个东西，我课上没有怎么去思考。细细想来也有几分道理，即期利率随到期期限的变化，自然每一年的漂移率在变化，否则用第一年的漂移率当做第二年的，似乎也不知道这里面有什么纠结的地方。Δr=θ(t)Δt+δΔW对这个式子多做理解，我们认为这个变化量都是时间跨度一年的变化，那么Δt,ΔW这些都是确定的，他们不随时间变化，而随时间变化的也就剩下了θ(t)，这个还是一年的跨度，并不是两年，所以u(2)就是指第二年的漂移率。

自然，计算u(2)，就是第二年的漂移率的时候----第二年初到第三年初这一段时间(应该是t=1到t=2这个时点之间)的折现率的一部分，其实这个也是目前对第二年的漂移率的一种估计，利用的也还是现在的信息，现在和这一段时间区间有关的也只有三年期债券了。计算起来如下图：

想要达到无套利，有两种方式，一种就是调整θ(t)，或者δ(t)，从而保证期间无套利。

下面这张图可能说明性更好一点。