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关于期权delta复制的几个问题

  有同事始终对delta复制有强烈的不信任感,认为delta复制里面,有很多要素把握不到,不知道什么地方就会出什么问题。 我不这样认为,bs理论最开始的组合构建,本身就是delta复制的流程,因此,delta复制,和bs模型所给的价格,是自洽的,我们可以指责bs模型有各种问题,比如: 股价连续平滑变化,满足对数正太分布 实际上,有一点,就是bs模型里面,对股价是否有漂移,没有任何假设,这不是指责bs模型的一个理由,因为复制组合可以对冲掉漂移。 连续对冲,交易没有摩擦成本,以任意数量交易没有冲击 假设可以任意份额交易,这个也是个摩擦问题。没有交易税费,没有买卖价差,没有清算费用等等,这需要平衡。 资金随意融入融出,股票可以任意卖空 融入融出利息固定,实际上股票卖空有一个融券利率,可以放在虚拟的股息率里面解决。 波动率为常数 这和实际显然不同,但是假设里面波动率是常数。 但这些问题,对于一个用动态复制来模拟bs模型所给出的价格的时候,并不是必然存在的。有些问题,对bs模型来说,是问题,比如交易没有摩擦,资金无限融入,但是,在我们用动态复制模拟的时候,第一个模型,也是不考虑交易摩擦,资金融入更是没有限制。 因此,用动态复制和bs模型所给出的价格,在这两个限制上面,其实是自洽的,二者最终的结果也是一致的。 连续对冲和离散对冲 bs模型的假设里面,是连续对冲的。我们用动态复制模拟的时候,用的是数值计算的方法,天生是离散的。但是这离散因素导致的结果有多严重,我们应该好好分析一下。 首先,离散对冲的结果应该是无偏的,也就是说,我认为对冲间隔取长取短,在没有交易摩擦的前提下,最终的期望是相同的。这不是天然成立,我要查下书验证一下我的观点。 离散对冲是无偏的,但是如果考虑交易成本, 其次,离散对冲的时间间隔的长短,影响的是最终的对冲误差,时间间隔越长,误差越大,这个时间间隔和对冲误差的关系,那就是有偏的了。 交易越频繁,对冲成本越高,偏差越厉害。理想的情况下,不要对冲,持有到期,只要重复次数足够多,最终的期望收益,就是期权的理论价值。 这样算下来,对冲次数越多,实际上是越不划算的。 实际上,离散对冲和连续对冲,我觉得其差异,可以用样本方差和总体方差解释(并不确定)。 价格路径不完全满足对数正太分布 在bs的理论体系下,价格是满足对数正太分布的,这个是求解pde结果的必须。我们不管用蒙特卡洛方法生成价格路径,还是用实际股价,都没法得到一个完美对数正太分布的价格。其中,蒙特卡洛的问题在于,我们的价格路径上的点,往往是有限的,这和后面不连续对冲有关,因此虽然我们在生成分布的时候,用的是对数正太分布,但是实际上最终出来的结果,并不能完美契合。 分布曲线上的差异还好说,更重要的是,由于蒙特卡洛是离散取样,导致最终的波动率和我们预设的参数是不一致的。我们给的参数是0.25,最终出来的结果可能是0.26。这种不一致导致了最终对冲出来的价格和理论值不一致。 当然,间隔越小,误差越小,这种误差也应该是可以推导得到的。这种不一致本质上,和波动率和离散采样有关~~,似乎不一定是无偏的,我印象里面说是,采样点数越少,波动率越倾向低估。~~ 不过有一点需要注意, s^2=\frac{1}{N-1}\sum^2_{i=1}(x_i-\bar x)^2s2=N−11​i=1∑2​(xi​−x¯)2 这个式子通过样本,得到的总体方差的估计是无偏的,但是,对方差开平方后,得到的波动率,却是有偏的。由于 E(s)=E(\sqrt s^2)<\sqrt(E(s^2)=\sqrt\sigma^2=\sigmaE(s)=E(s​2)<(​E(s2)=σ​2=σ 即,平方根的均值总是比均值的平方根小,前者是我们采样得到的波动率,后者是随机变量本身的波动率 \sigma =\frac{\bar s}{b}σ=bs¯​ 当取样数量超过50时,误差已经小于2%了。 根据上述结论,我们知道,当利用蒙特卡洛生成一条路径,实际路径的波动率,往往是低于我们最初给出的系数的。 这样,我们对路径采样的影响,也有了一个大致的判断。 交易成本对动态复制的影响 真正影响动态复制的,交易成本的影响就不在是无偏的了。交易频率越高,交易成本越大。如何权衡交易成本和对冲精度,应该有比较深刻的研究,但我没有看到呢。 … Continue reading

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Gamma与对冲损益之二数据实证研究

  Gamma与对冲损益之 数据实证研究 1. 研究思路 在上一份报告中,我们从理论上分析了Gamma和对冲损益之间关系的积分表达式,这次我们利用实际数据去检验对冲损益的变化。 我们利用一个月的股指期权的仿真数据和当月股指期货的,然后固定不同水平的对冲波动率去进行gamma交易,然后检验最后的盈亏情况。 2. 研究假设 第一步的实证研究我们并不考虑交易费用的存在; 设定对冲频率每天收盘价对冲; 所有价格以收盘价计; 设定对冲数量可以精确到7位小数,即可以购买0.0001份指数; 这里分别用股指期货和股票指数来为期权做定价模型,以已实现波动作为对冲波动率条件下,以pl绝对值最小为标准,筛选最优期权对冲定价模型。 3. 数据样本 图 1 hs300指数价格真实走势 其中,该价格路径波动率年化为12.7% 4. 初始状态 在t0时间点,沪深300指数收盘价为2374.6; 行权价为2350的认购期权此时价格为74.4; BS定价模型下的隐含波动率为20.02%。 5. 对冲过程 这里的设想是卖出期权,同时进行delta,不考虑保证金等其他费用,并且连续对冲。 卖出期权的权利金收入为74.4,对冲标的买入费用1589.59,则期初资金投入1515.19. 数据选取的是2014/8/18至2014/9/19这一段时间的沪深300指数数据。 5.1. 使用realizedVol进行对冲回溯 最后的对冲盈亏为17.71。 对冲示例如下: 基本参数是: 对冲结果 对冲过程如下: 整个过程解释如下: 我们用12.7%波动率对期权进行对冲,最后对冲盈亏为17.17。 那么实际上所卖出的期权,对我们来说,成本为74.40-17.17exp(-rT)=57.31。接近BS73下,期权在realizedVol的理论价格。 … Continue reading

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