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  有同事始终对delta复制有强烈的不信任感，认为delta复制里面，有很多要素把握不到，不知道什么地方就会出什么问题。 我不这样认为，bs理论最开始的组合构建，本身就是delta复制的流程，因此，delta复制，和bs模型所给的价格，是自洽的，我们可以指责bs模型有各种问题，比如: 股价连续平滑变化，满足对数正太分布 实际上，有一点，就是bs模型里面，对股价是否有漂移，没有任何假设，这不是指责bs模型的一个理由，因为复制组合可以对冲掉漂移。 连续对冲，交易没有摩擦成本，以任意数量交易没有冲击 假设可以任意份额交易，这个也是个摩擦问题。没有交易税费，没有买卖价差，没有清算费用等等，这需要平衡。 资金随意融入融出，股票可以任意卖空 融入融出利息固定，实际上股票卖空有一个融券利率，可以放在虚拟的股息率里面解决。 波动率为常数 这和实际显然不同，但是假设里面波动率是常数。 但这些问题，对于一个用动态复制来模拟bs模型所给出的价格的时候，并不是必然存在的。有些问题，对bs模型来说，是问题，比如交易没有摩擦，资金无限融入，但是，在我们用动态复制模拟的时候，第一个模型，也是不考虑交易摩擦，资金融入更是没有限制。 因此，用动态复制和bs模型所给出的价格，在这两个限制上面，其实是自洽的，二者最终的结果也是一致的。 连续对冲和离散对冲 bs模型的假设里面，是连续对冲的。我们用动态复制模拟的时候，用的是数值计算的方法，天生是离散的。但是这离散因素导致的结果有多严重，我们应该好好分析一下。 首先，离散对冲的结果应该是无偏的，也就是说，我认为对冲间隔取长取短，在没有交易摩擦的前提下，最终的期望是相同的。这不是天然成立，我要查下书验证一下我的观点。 离散对冲是无偏的，但是如果考虑交易成本， 其次，离散对冲的时间间隔的长短，影响的是最终的对冲误差，时间间隔越长，误差越大，这个时间间隔和对冲误差的关系，那就是有偏的了。 交易越频繁，对冲成本越高，偏差越厉害。理想的情况下，不要对冲，持有到期，只要重复次数足够多，最终的期望收益，就是期权的理论价值。 这样算下来，对冲次数越多，实际上是越不划算的。 实际上，离散对冲和连续对冲，我觉得其差异，可以用样本方差和总体方差解释（并不确定）。 价格路径不完全满足对数正太分布 在bs的理论体系下，价格是满足对数正太分布的，这个是求解pde结果的必须。我们不管用蒙特卡洛方法生成价格路径，还是用实际股价，都没法得到一个完美对数正太分布的价格。其中，蒙特卡洛的问题在于，我们的价格路径上的点，往往是有限的，这和后面不连续对冲有关，因此虽然我们在生成分布的时候，用的是对数正太分布，但是实际上最终出来的结果，并不能完美契合。 分布曲线上的差异还好说，更重要的是，由于蒙特卡洛是离散取样，导致最终的波动率和我们预设的参数是不一致的。我们给的参数是0.25，最终出来的结果可能是0.26。这种不一致导致了最终对冲出来的价格和理论值不一致。 当然，间隔越小，误差越小，这种误差也应该是可以推导得到的。这种不一致本质上，和波动率和离散采样有关~~，似乎不一定是无偏的，我印象里面说是，采样点数越少，波动率越倾向低估。~~ 不过有一点需要注意， s^2=\frac{1}{N-1}\sum^2_{i=1}(x_i-\bar x)^2s2=N−11​i=1∑2​(xi​−x¯)2 这个式子通过样本，得到的总体方差的估计是无偏的，但是，对方差开平方后，得到的波动率，却是有偏的。由于 E(s)=E(\sqrt s^2)<\sqrt(E(s^2)=\sqrt\sigma^2=\sigmaE(s)=E(s​2)<(​E(s2)=σ​2=σ 即，平方根的均值总是比均值的平方根小，前者是我们采样得到的波动率，后者是随机变量本身的波动率 \sigma =\frac{\bar s}{b}σ=bs¯​ 当取样数量超过50时，误差已经小于2%了。 根据上述结论，我们知道，当利用蒙特卡洛生成一条路径，实际路径的波动率，往往是低于我们最初给出的系数的。 这样，我们对路径采样的影响，也有了一个大致的判断。 交易成本对动态复制的影响 真正影响动态复制的，交易成本的影响就不在是无偏的了。交易频率越高，交易成本越大。如何权衡交易成本和对冲精度，应该有比较深刻的研究，但我没有看到呢。 … Continue reading →